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Dynamische Kapillareffekte in heterogenen porösen Medien

Projektleiter: Prof. Dr. rer. nat. B.I. Wohlmuth, Prof. Dr. Ing. R. Helmig
Projektbearbeiter: Dipl.-Math. A. Weiß

Ausgangssituation

Die Modellierung und Simulation von Fluss- und Transportphänomenen in porösen Medien stellt eine große Herausforderung in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, wie zum Beispiel der Grundwasserforschung dar.

Der Transport in porösen Medien wird dabei mittels Darcy's Gesetz durch eine Erhaltungsgleichung modelliert. Bei Mehrphasenströmungen spielt der Kapillardruck eine wichtige Rolle, und man erhält ein nichtlinear gekoppeltes Differentialgleichungssystem. In klassischen Modellen wird der Kapillardruck als Funktion der Sättigung modelliert. Neuere Versuchen legen jedoch nahe, dass diese Beziehung um eine dynamische Komponente erweitert werden muss und somit auch von der Ableitung der Sättigung abhängt. Für dieses erweiterte Modell können neue Lösungsklassen, wie zum Beispiel nicht-monotone Wellen auftreten.

Im Falle von Heterogenitäten tritt die zusätzliche Schwierigkeit auf, dass bedingt durch eine Stetigkeitsanforderung an den Druck Unstetigkeiten in den Sättigungen an Material-Übergängen aufreten können. Dies muss in einer numerischen Simulation entsprechend berücksichtigt werden.

Eine weitere Herausforderung stellt die Modellierung von Eindringprozessen bei heterogenen Medien dar. Hier kann eine Phase erst bei Erreichen des sogenannten "Eindringdruckes" in das Gebiet mit anderen Materialeigenschaften eindringen. Daher ist die Entwicklung einer geeigneten Interface-Bedingung nötig, um den Eindringprozess auch im Falle einer dynamischen Kapillardruck-Sättigungs-Beziehung richtig zu beschreiben.

Ergebnisse

Zur Modellierung des Eindringdruckes wurde eine eine Ungleichungsbedingung für den Kapillardruck an Materialinterfacen hergeleitet. Mit diesem Modell kann die Problemstellung in der schwachen Formulierung als Variationsungleichung geschrieben werden.

Für die Diskretisierung der Variationsungleichung wurden Mortar-Methoden verwendet, wobei der Fluss am Interface als zusätzliche Unbekannte eingeht. Um die korrekte Lösung zu finden wurde eine aktive-Mengen-Strategie verwendet. Hierbei wird das Interface in 2 Mengen geteilt in denen jeweils eine der Komplementaritäts-Bedingungen erfüllt ist. Somit erhält man in jedem Iterationsschritt ein Problem mit gegebenen Randbedingungen am Interface. Das numerische Modell wurde in 2D und 3D implementiert und auf verschiedene Problemstellungen angewandt.

Offene Fragestellungen

Es bleibt die Frage, inwiefern die Interface-Bedinung auf die nicht-monotonen Wellenprofile, die bei dynamischem Kapillardruck entstehen, angepasst werden kann. Hierzu ist eine Regularisierungstheorie am Interface nötig: Anstatt einen unstetigen Materialübergang anzunehmen, wird eine ε-Schicht eingeführt und der Grenzfall ε→0 betrachtet.

Vergleich verschiedener  Dynamik-Parameter t
Vergleich verschiedener Dynamik-Parameter t

Publications

Author(s) Title Appeared In Year Type Download
Rainer Helmig, Alexander Weiss, Barbara Wohlmuth Variational inequalities for modeling flow in heterogeneous porous media with entry pressure Comput. Geosci. 13, 373--390 2009 Article in Journal Abstract
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Rainer Helmig, Alexander Weiss, Barbara Wohlmuth Dynamic capillary effects in heterogeneous porous media Comput. Geosci. 11, 261-274 2007 Article in Journal Abstract
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