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Numerische Methoden zur Bewertung von amerikanischen Optionen

Projektleiter: Prof. Dr. rer. nat. B.I. Wohlmuth
Projektbearbeiter: Dipl.-Math. C. Hager und Dr. S. Hüeber

Ausgangssituation

Die Modellierung von Optionen in der Finanzmathematik erfolgt häufig mittels der sogenannten Black-Scholes-Gleichung. Der Wert einer europäischen Option genügt dieser parabolischen partiellen Differentialgleichung und ist neben der Zeit von den Werten der zu Grunde liegenden Aktien oder Wertpapieren abhängig. amerikanische Optionen unterscheiden sich von europäischen Optionen durch ihr vorzeitiges Ausübungsrecht. Mathematisch gesprochen liegt bei amerikanischen Optionen eine Variationsungleichung vor, während europäische Optionen auf eine Variationsgleichung führen

Aktuelle Ergebnisse

Die Diskretisierung der Variationsungleichung erfolgt auf der Basis von Mortar-Techniken. Die Verwendung von dualen Basisfunktion für den Lagrange-Multiplikator, der für die Einhaltung der Ungleichungsnebenbedingungen sorgt, erlaubt die Konstruktion von effizienten iterativen Lösungstechniken. Dies sind Semismooth-Newton-Methoden, welche sich als primal-duale Aktive-Mengen-Strategien auf dem gesamten Rechengebiet interpretieren lassen. Die Ortsdiskretisierung erfolgt mittels einer adaptiven Verfeinerungsstrategie in der Nähe des Ausübungsrandes, der mathematisch den Übergang zwischen der Gleichungs- (aktiv) und der Ungleichungs- (inaktiv) Nebenbedingung darstellt.

Weiter ist die Berechnung der Ableitungen (Greeks) des Optionswertes nach den Systemparametern von großem Interesse. Auf dem Parameterraum wird der numerisch berechnete Wert der Option mit Hilfe von (adaptiven) dünnen Gittern interpoliert. Die Ableitung der resultierenden stückweise multilinearen Approximation dient dann als Näherungswert der Greeks. Für europäische Optionen, deren Lösung eine hohe Regularität aufweist, stellt die Interpolation mit Hilfe von (adaptiven) dünnen Gittern im 7-dimensionalen Parameterraum eine äußerst effiziente Vorgehensweise im Vergleich zu vollen Tensorproduktgittern dar. Da amerikanische Optionen keine ausreichende Regularität aufweisen, fällt hier der Vorteil von dünnen Gittern gegenüber vollen Tensorproduktgittern geringer aus.

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4 Zeitschritte einer Simulation für eine amerikanische Option. Oben: Ausschnitt des adaptiven Gitters
mit Unterteilung in aktiven Teil (Punkte) und inaktiven Teil; Unten: 3D-Darstellung des Optionenwertes.